Chyba każdy był kiedyś świadkiem podobnego dialogu:

Osoba A: Granie w Lotto się nie opłaca. To podatek od nieznajomości matematyki.

Osoba B: Tak? A słyszałeś o tej kobiecie, która tydzień temu zgarnęła szóstkę i wygrała 20 milionów? Jej to powiedz, że się nie opłaca!

Kto ma rację? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy zastanowić się, w jaki sposób ocenia się opłacalność zdarzeń o charakterze losowym. Zanim przejdziemy dalej, rozpatrzmy jeszcze jeden (oprócz totolotka), bardziej skrajny przykład.

Wyobraźmy sobie grę, w której grający daje się przykuć kajdankami do czynnych torów kolejowych na godzinę. Nie jest sprawdzany rozkład jazdy pociągów. Jeśli akurat będzie jechał pociąg, grający traci życie. Jeśli pociąg nie nadjedzie – grający wygrywa 50 zł.

Załóżmy, że osoba zdecydowała się zagrać w tę grę. Szczęśliwie pociąg nie nadjechał i osoba ta wygrała 50 zł. Czy zagranie w tę grę było dobrym pomysłem? Chyba wszyscy intuicyjnie czujemy już, że nie, pomimo, że gra zakończyła się zyskiem dla grającego. Domyślamy się, że gdyby osoba ta, zachęcona łatwym zarobkiem, zdecydowała się grać dalej w tę grę, to w końcu skończyłoby to się dla niej śmiercią. Prowadzi nas to do pierwszego, bardzo ważnego wniosku:

Opłacalność zdarzenia losowego nie zależy wprost od jego rezultatu

Mówiąc inaczej, w przypadku zdarzeń losowych można podjąć dobrą (opłacalną) decyzję i stracić (można też oczywiście zyskać), podobnie można podjąć złą (nieopłacalną) decyzję i zyskać (można też oczywiście stracić). Nie można więc uzasadniać opłacalności zdarzenia losowego na podstawie zaobserwowanego rezultatu. Wniosek stąd jest taki, że w początkowym dialogu to osoba A ma rację, a nie osoba B.

Dlaczego tak się dzieje? Jak więc oceniamy opłacalność zdarzeń losowych? Aby to zrozumieć, spójrzmy na poniższy schemat:

Otóż wynik zdarzenia losowego zależy od dwóch rzeczy:

a) możliwe scenariusze oraz towarzyszące im prawdopodobieństwa,

b) losowanie.

Kontrolę mamy tylko nad czynnikiem a). Wiemy jakie warianty mogą się zrealizować (na przykład – wariant pierwszy: pociąg nadjedzie, wariant drugi: pociąg nie nadjedzie) i możemy obliczyć lub oszacować prawdopodobieństwa ich realizacji. To właśnie na podstawie tych informacji oceniamy opłacalność decyzji.

Czynnik b) to losowanie (los decyduje, czy ostatecznie zrealizuje się wariant pierwszy (pociąg nadjedzie) czy drugi (pociąg nie nadjedzie) i nie mamy nad tym żadnej kontroli. To właśnie dlatego w przypadku zdarzeń losowych można podjąć złą decyzję (dać się przykuć do torów) i wygrać (szczęśliwie wylosowało się tak, że pociąg nie nadjechał).

Skoro kontrolę mamy tylko nad czynnikiem a), skupmy się na nim. Otóż okazuje się, że da się ocenić opłacalność zdarzenia losowego w bardziej obiektywny sposób, aniżeli „na oko”. Tym sposobem jest obliczenie tak zwanej wartości oczekiwanej zdarzenia losowego, zgodnie ze schematem:

Obliczmy od razu wartość oczekiwaną dla przykładu z pociągiem. Przyjmijmy dla przykładu, że prawdopodobieństwo, że pociąg nadjedzie wynosi 20% (czyli prawdopodobieństwo, że pociąg nie nadjedzie wynosi 80%), a stratę związaną z utratą życia ustalmy na 200 tys. zł (w rzeczywistości trudno jest utratę życia przeliczyć na pieniądze). Podsumowując, mamy:

Liczymy wartość oczekiwaną:

Wartość oczekiwana jest ujemna, więc udział w takiej grze jest nieopłacalny, zgodnie z wcześniejszymi przypuszczeniami. Gdyby wartość oczekiwana była dodatnia, wówczas gra byłaby opłacalna.

Obliczmy jeszcze wartość oczekiwaną dla gry Lotto. Schemat zdarzeń, towarzyszące im prawdopodobieństwa oraz wygrane przedstawia tabela:

Prawdopodobieństwa z powyższej tabeli można obliczyć za pomocą tzw. rozkładu hipergeometrycznego. W celu zachowania lekkości artykułu pomijamy prezentację dokładnych obliczeń. Obliczmy wartość oczekiwaną wygranej:

Wartość oczekiwana wygranej to 1,90 zł. Należy ją jeszcze pomniejszyć o koszt kuponu, który aktualnie wynosi 3 zł. Ostatecznie, wartość oczekiwana gry w Lotto to 1,9 zł – 3 zł = -1,1 zł. Jest więc ujemna, a gra jest nieopłacalna. Zastanówmy się jeszcze, jaką interpretację ma sama wartość -1,1 zł. Otóż jest to średnia ze zdarzenia losowego. Czyli: grając wielokrotnie w tę grę (kupując odpowiednio dużo kuponów Lotto), na każdym kuponie tracimy średnio 1,1 zł.

Totolotek, zdarzenia losowe, a obligacje

Dlaczego to wszystko powyższe znajduje się na blogu o obligacjach korporacyjnych? Ponieważ na giełdzie również mamy do czynienia ze zdarzeniami losowymi (mówiąc bardziej kolokwialnie: z niepewnością). Rozpatrzmy przykład, w którym kupujemy obligację o wartości nominalnej 1.000 zł, która to ma być wykupiona za kilkanaście dni. Cena tej obligacji to 99% wartości nominalnej, czyli 990 zł. Niepewność (losowość) w tym przypadku polega na tym, że nie jesteśmy do końca pewni, czy obligacja zostanie wykupiona. Mamy więc następujące scenariusze:

Jeśli obligacja zostanie wykupiona, nasz wynik finansowy to 10 (dostaliśmy 1000 zł za wykup obligacji, ale zapłaciliśmy za nią 990 zł, więc „na czysto” mamy 10 zł). Gdy obligacja nie zostanie wykupiona, tracimy kwotę, którą zapłaciliśmy za obligację, czyli 990 zł. Uwaga: w powyższym przykładzie, dla uproszczenia, pomijamy prowizje, odsetki i podatki, które mają marginalne znaczenie w stosunku do wartości nominalnej obligacji.

W powyższym przykładzie utrudnieniem jest to, że nie jest znane prawdopodobieństwo zdarzenia, że obligacja zostanie wykupiona. Oznaczmy je więc jako x. Tym samym prawdopodobieństwo, że obligacja nie zostanie wykupiona, wynosi 1-x (dopełnienie do jedności: mamy dwa warianty, i jeden z nich musi się zrealizować).

Skoro tak, to spróbujmy podejść do tematu od drugiej strony – ile powinno wynosić prawdopodobieństwo wykupu obligacji („x”), aby zakup tej obligacji był opłacalny, czyli posiadał dodatnią wartość oczekiwaną? Mamy więc następującą nierówność:

Okazuje się, że aby zakup tej obligacji był opłacalny, prawdopodobieństwo wykupu musi być równe co najmniej 0,99, czyli 99%. Zauważmy, że to dokładnie tyle, ile wynosi cena obligacji w omawianym przykładzie. Nie jest to przypadek – powyższe rozumowanie można byłoby uogólnić dla dowolnej ceny obligacji, jednak w celu zachowania lekkości artykułu pomijamy ten krok.

Podsumowując: zakup obligacji na krótko przed wykupem jest opłacalny wtedy i tylko wtedy, gdy prawdopodobieństwo wykupu jest wyższe od kursu obligacji.

Jak tę wiedzę można wykorzystać w praktyce? Spójrzmy na trzymiesięczną historię notowań serii EKA1014 – obligacji wyemitowanych przez e-Kancelarię z terminem wykupu 29 października 2014.

Notowania obligacji jeszcze na miesiąc przed wykupem oscylowały wokół 90%. Tymczasem atmosfera wokół spółki już od wielu miesięcy była gęsta – inwestorzy oraz dziennikarze zwracali uwagę, że spółka nie wypracowuje gotówki, a wyniki osiąga tylko dzięki przeszacowaniom posiadanych aktywów. Ponadto, spółkę czekał maraton wykupów wielu serii obligacji, które zapadały wkrótce po sobie. Można przypuszczać, że prawdopodobieństwo wykupu tych obligacji było już w lipcu, sierpniu czy wrześniu sporo niższe, niż 90-95%, a więc rynek wyceniał je za wysoko. Dopiero na początku października kurs zanurkował i bardziej realnie odzwierciedlał ryzyko braku wykupu. Odbicie cen z października podyktowane było spekulacjami o sprzedaży aktywów spółki w celu spłaty obligacji. Ostatecznie spółka faktycznie sprzedała aktywa i rzutem na taśmę wykupiła tę serię.

Po sprzedaży aktywów spółka pozyskała wystarczającą ilość gotówki, aby wykupić także następną serię (EKA1214). Jednakże niepewny był los kolejnej serii – EKA0215. Spójrzmy na jej trzymiesięczną historię notowań:

E-Kancelaria sprzedała aktywa po znacznie niższych cenach (10 mln zł), względem ich wartości pokazywanej w bilansie (34,2 mln zł). Było niemalże pewne, że po tej transakcji spółka osiągnie ujemny kapitał własny. Na horyzoncie nie było też innych aktywów, których sprzedaż mogłaby przynieść spółce środki na wykup serii EKA0215. Tymczasem rynek jeszcze w grudniu wyceniał ten papier na 97,5%. Czy prawdopodobieństwo wykupu było wtedy wyższe od tej wartości? Z pewnością nie. Rynek wyceniał więc tę serię za wysoko. Również późniejsze notowania, a więc spadek ceny do 87,5%, wydają się być zbyt wysokimi poziomami. Prawdopodobieństwo braku spłaty było wtedy zapewne znacznie wyższe niż kilkanaście procent.[sgmb id=”1″]